微积分甲(I) 24-25学年期末题

#微积分 #历年卷

1. 曲线 $y=x+x\ln (1+\frac{1}{x})$ 的斜渐近线方程为 ____________________ .

2. 曲线 $\{\begin{array}{l}x=1+t^2\\ y=t^3\end{array}$ 在 $t=2$ 对应点处的切线方程为 ____________________ .

3. 设当 $x\to 0$ 时，$ax+b{x}^2+\ln (1+x)$ 与 $x^2$ 是等价无穷小，则 $a=$ __________ , $b=$ __________ .

4. 曲线 $y=1-x^2$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 ____________________ .

5. 已知曲线 $l$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$，则 $l$ 围成的有界区域的面积为 ____________________ .

6. ${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x(x+1)}\mathrm{d}x=}$ ____________________ .

7. 设函数 $y=y(x)$ 由 $x^2+xy+y^3=1$ 确定，则 $y^{″}(1)=$ ____________________ .

8. 设 $f(x)=x^2(e^x+1)$，则 $f^{(5)}(1)=$ ____________________ .

9. 计算极限 ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x[e^{\frac{1}{x}}-x\ln (1+\frac{1}{x})]}$.

10. 求曲线 $\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\le t\le 2\pi )$ 的弧长.

11. 求不定积分 ${\displaystyle \int x\ln \frac{x-1}{x+1}\mathrm{d}x}$.

12. 已知函数 ${\displaystyle f(x)=x{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t}$，求 ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x}$.

13. 设 $t>0$，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x{e}^{-2x}$ 与直线 $x=t,x=2t$ 及 $x$ 轴所围成。已知 $D$ 的面积为 $S(t)$，求 $S(t)$ 的最大值。

14. 已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$，其中 $0<a_n<\frac{1}{n^2}$.
证明：
(1) $0<b_n<\frac{3a_n^2}{4}$;
(2) ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots +\frac{b_n}{a_n})}$ 存在.

15. 已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有 2 阶导数，且 $f^{″}(x)<0$，$f(0)=f(1)=0$.
证明：
(1) $f^{\prime }(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$，且当 $x\in (0,1)$ 时 $f(x)>0$;
(2) $\mathrm{\exists }{x}_1\in (0,x_0),x_2\in (x_0,1)$，使得 $f(x_1)=f(x_2)=\frac{f(x_0)}{2}$，且